Relasi Pada Matematika

Syarat Agar Invers Suatu Fungsi Merupakan Fungsi

Perhatikan fungsi g(x) berikut ini dengan g : A → B (Gambar i).

    Apabila fungsi g dibalik, maka diperoleh relasi R₁. Relasi R₁ disebut invers (kebalikan) fungsi g. Apakah relasi R₁ merupakan fungsi? Selanjutnya perhatikan fungsi f dengan f : A → B pada gambar (ii). Apabila fungsi f dibalik, maka diperoleh relasi R₂. Relasi R₂ merupakan invers fungsi f. Apakah relasi R₂ merupakan fungsi.

    Pada relasi R₁, ada anggota B yang tidak memiliki pasangan di A. Sehingga relasi R₁ bukan merupakan fungsi. Sedangkan pada relasi R₂, semua anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A, sehingga relasi R₂ merupakan fungsi. Fungsi R₂ ini selanjutnya disebut sebagai fungsi invers dari f, atau dituliskan f ^-1. Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa f ^-1 ada apabila f dalam keadaan berkorespondensi satu-satu atau f adalah bijektif.

   Apabila kita lihat contoh kasus di awal, fungsi “memiliki NIK” merupakan fungsi korespondensi satu-satu, sehingga inversnya merupakan fungsi invers. Invers dari fungsi “memiliki NIK” adalah fungsi “merupakan NIK yang dimiliki oleh”. Domain dari fungsi invers ini adalah daftar NIK, sedangkan kodomainnya adalah daftar orang-orang yang berusia di atas 17 tahun.

    Jadi, harap dibedakan antara invers fungsi dan fungsi invers. Setiap fungsi memiliki invers, tetapi hanya fungsi yang berkorespondensi satu-satu yang mempunyai fungsi invers. Untuk lebih memahami mengenai fungsi invers, perhatikan contoh soal berikut!

 Contoh Soal

Perhatikan gambar dari diagram panah fungsi f, dengan f : P → Q, berikut.

1. Apakah f ^-1 ada? Mengapa?
2. Gambarlah diagram panah dari f ^-1!
3. Carilah (f ^-1 ○ f)(x), (f ^-1 ○ f)(y), dan (f ^-1 ○ f)(z)!
4. Apakah f ^-1 ○ f = I? Mengapa?
5. Carilah (f ○ f ^-1)(a), (f ○ f ^-1)(b), dan (f ○ f ^-1)(c)!
6. Apakah f ○ f ^-1 = I? Mengapa?

Pembahasan Contoh Soal

1. f ^-1 ada, sebab f berada dalam korespondensi satu-satu.
2. Diagram panah dari f ^-1 ditunjukkan sebagai berikut.
   
3. (f ^-1 ○ f)(x) = f ^-1(f(x)) = f ^-1(c) = x
   (f ^-1 ○ f)(y) = f ^-1(f(y)) = f ^-1(a) = y
   (f ^-1 ○ f)(z) = f ^-1(f(z)) = f ^-1(b) = z
4. Benar bahwa f ^-1 ○ f = I, sebab (f ^-1 ○ f)(t) untuk setiap t.
5. (f ○ f ^-1)(a) = f(f ^-1(a)) = f(y) = a
   (f ○ f ^-1)(b) = f(f ^-1(b)) = f(z) = b
   (f ○ f ^-1)(c) = f(f ^-1(c)) = f(x) = c
6. Benar bahwa f ○ f ^-1 = I, sebab (f ○ f ^-1)(t) = t untuk setiap t.

Dari contoh soal di atas diperoleh bahwa komposisi antara suatu fungsi dengan fungsi inversnya, atau sebaliknya, merupakan fungsi identitas.