Logika

LOGIKA MATEMATIKA

A. Pernyataan

Kalimat ada 2 macam :

1. Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Contoh : 3x + 5 = 10

1. Kalimat tertutup ( pernyataan ) adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Contoh : 5 + 6 = 11

B. Negasi , Disjungsi , Konjungsi , Implikasi , Biimplikasi

      Negasi adalah ingkaran dari suatu pernyataan , jika sutau pernyataan bernila benar , maka ingkarannya bernilai salah, begitu pula jika pernyataan bernilai salah maka ingkarannya bernilai benar. Simbolnya : ~

Disjungsi adalah operasi logika “ atau “ symbol : V, suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “atau’  akan bernilai salah, jika kedua pernyataanya bernilai salah. Sedangkan lainnya benar.

Konjungsi adalah operasi logika “ dan “ symbol : Λ , suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “dan” akan bernilai benar Jika nilai kedua pernyataanya bernilai benar. Sedangkan lainnya salah.

Implikasi adalah operasi logika “ jika … maka…”, symbol : => , Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan “jika..maka…” akan bernilai salah , jika pernyataan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua bernilai salah. Sedang lainnya bernilai benar.

Biimplikasi adalah operasi logika “jika dan hanya jika” atau implikasi dua arah. Symbol  “ó” ,Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh “jika dan hanya jika’ akan bernilai benar jika kedua pernyataanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah.

TABEL KEBENARAN

p	q	~ p	pVq	p Λq	p => q	pó q
B	B	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	S	S
S	B	B	B	S	B	S
S	S	B	S	S	B	B

C. TAUTOLOGI , KONTRADIKSI , DUA PERNYATAAN YANG EKUIVALEN

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya benar (“B”) semua..

Contoh : (pΛq) => q

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya  salah (“S”) semua.

Dua pernyataan majemuk disebut ekuivalen , jika mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh :

~(pVq) ≡ ~p Λ ~q

~(p Λ q) ≡ ~p V ~q

~(p=>q) ≡ p Λ ~q

D. IMPLIKASI, KONVERSI , INVERSI , KONTRAPOSISI

Implikasi               : p => q

Konversi                : q => p

Inversi                   : ~p => ~q

Kontraposisi          : ~q => ~p

Contoh :

Implikasi   : Jika saya ke Bandung , maka saya membeli sepatu.

Konversi    : Jika saya membeli sepatu , maka saya ke Bandung.

Inversi       : Jika saya tidak ke Bandung, maka saya tidak membeli sepatu.

Kontraposisi : Jika saya tidak membeli sepatu, maka saya tidak ke Bandung.

E. KALIMAT BERKUANTOR

a. kuantor universal (symbol :

ialah kalimat yang mengandung kata “ semua’, “setiap’,”seluruh” dsb..

Contoh :

“ Semua siswa SMA memakai seragam putih abu “.

Kalimat ini ekuivalen dengan :

“ jika  Ani adalah siswa SMA , maka Ani memakai seragam putih abu”.

Negasi dari kalimat ini adalah :

“ Tidak semua siswa SMA memakai seragam putih abu “

Ekuivalen dengan

“ Ada siswa SMA tidak memakai seragam putih abu”.

b. Kuantor existensial

ialah kalimat yang mengandung kata “ ada”,”beberapa”, dsb..

Contoh :

“ Ada Gunung yang masih aktif mengeluarkan lava”

Kalmat ini ekuivalen dengan :

“ Sekurang –kurangnya ada satu gunung yang masih mengeluarkan lava”

Negasi dari kalimat ini adalah :

“ Semua gunung tidak mengeluarkan lava”

F. PENARIKAN KESIMPULAN

a. Modus Ponen	b. Modus Tollens	c. Silogisme
Premis 1 : p => q Premis 2 : p Konklusi : q	Premis 1 : p => q Premis 2 : ~ q Konklusi : ~ p	Premis 1 : p =>q Premis 2 : q => r Konlusi : p=>r

Contoh :

1. Modus ponen

Premis 1 : Jika hujan turun, maka halaman basah.

Premis 2 : Hari ini hujan turun

Kesmpulan : Hari ini halaman basah.

2.Modus Tollens

Premis 1 : Jika  makan cabe , maka terasa pedas.

Premis 2 : Tidak merasa pedas.

Kesimpulan : Tidak makan cabe.

3.Silogisme

Premis 1 : Jika berenang pagi , maka akan kedinginan.

Premis 2 : Jika kedinginan , maka akan minum kopi panas.

Kesimpulan : Jika berenang pagi, maka akan minum kopi panas.